极限方法是研究数学分析的主要方法，与它相比，极限方法在研究实变函数理论中得到更加充分的应用 。事实上，一方面 Ｌ 积分是在 Ｌ 测度基础上建立起来的，而 Ｌ 测度与作为 Ｒ 积分基础的 Jordan测度相比，不仅具有有限可加性，更具有可数可加性；另一方面，Ｌ 积分论的研究对象是定义在可测集上的可测函数，它与数学分析的主要研究对象连续函数相比，有本质区别，连续函数对极限运算不封闭，而可测函数在极限运算下是封闭的。这就是说，极限运算对可测集、可测函数可畅通无阻地进行使用，也正是由于这个原因，使极限运算在 Ｌ 积分理论中得到充分的应用，而且使 Ｌ积分能克服 Ｒ 积分的局限性．例如 Lebesgue 控制收敛定理，提供了 Ｒ 积分较弱的条件，使极限与积分次序可以交换，即它不要求验证极限函数 ｆ(x) 的可积性，分析其原因正是基于“可测函数的极限函数仍是可测函数”这一特性，因此 Ｌ 积分较之 Ｒ 积分有着更为广泛的应用。
此外，实变函数的研究对象是定义在可测集上的可测函数类，它扩大了数学分析的研究对象，即定义在 \mathbb{R}^ｎ 上的连续函数，但连续函数仍是研究实变函数理论的一种重要手段 。 可测函数与连续函数有着密切的联系，一方面，定义在可测集上的连续函数是可测函数；另一方面，由鲁津定理揭示了可测函数的结构：在可测集上几乎处处有限的可测函数是“基本”连续函数。这样既使我们进一步了解可测函数，又为我们提供了利用连续函数研究可测函数的一种有效手段，即把有关可测函数问题归结为连续函数问题而使问题得到简化。
评论：
Souler: 你也喜欢夏目友人帐啊，新出的这一季看没[awsl]
